Через любые n точек можно провести (n–1)–плоскость и существуют множества из n 1 точек, через которые (n–1)–плоскость провести нельзя. Таким образом, n 1 — минимальное число точек в n–пространстве, которое не лежит в одной (n–1)–плоскости, и может служить вершинами n–многогранника.
Простейший n–многогранник с количеством вершин n 1 называется симплексом. Принято также название n-мерный тетраэдр. В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют 4 фигуры:
0-симплекс (точка) – 1 вершина;
1–симплекс (отрезок) – 2 вершины;
2–симплекс (треугольник) – 3 вершины;
3–симплекс (тетраэдр) – 4 вершины.
Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами:
В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства;
Существует общее правило преобразования фигур низшей размерности в фигуры высшей размерности. Оно заключается в том, что из геометрического центра фигуры строится перпендикуляр в следующее измерение, на этом перпендикуляре строится новая вершина и соединяется рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса;
Как следует из описанной в п. 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.